閱讀幫手:數學化科學與數學教育的文化反思(一)/台大哲學系主任苑舉正教授
數學化科學的歷史

在歷史中最重視數學、而且最廣泛應用數學的人首推柏拉圖。柏拉圖在其《對話錄》之〈門農篇〉(Meno)中,教導奴隸小孩的數學故事,不但成為數學是前世知識的證明,更說明了超經驗世界的存在。柏拉圖所問的數學題目是:如何以兩倍的方式呈現一個1x1的正方形。這個不曾受過教育的奴隸小孩,在柏拉圖的指示下,一直不斷地展示理性推理,逐步地證明:對角線(即√2)的兩次方所畫出來的正方形,就是這一道數學題目的答案。

在這個證明的過程中,柏拉圖很技巧地做了兩件事:第一,數學是不用學習的;任何人只要懂得推理的方法,就可以獲得證明。第二,數學所使用的方法,不是來自於外在的傳授,而是來自於內在的理解。因此,能夠理解數學的原因,在於人的內心世界,而不在於經驗所能提供的任何內容。

亞里斯多德對於數學也極為重視,他認為數學所代表的是「量」(quantity)與「連續性」(continuation)這兩個概念。他也認為數學是不能夠用它所處理的對象所加以定義的,因為數學是屬於一種與抽象程度(degree of abstractness)相關的模式。重視經驗的亞里斯多德不但強調觀察,也重視現今的世界。因此,他作務實的研究,並不以追求脫離世界的絕對真實為主。當然,對於以「絕對真實」為目的的理想主義者而言,亞里斯多德哲學經不起「絕對標準」的檢驗,但這卻也無損於這位偉大哲學家在歷史中的地位,因為我們都知道,除了抽象事物之外,沒有任何其他事物經得起「絕對標準」的檢驗。
 
在羅馬帝國的時期,也就是西元五世紀或更早的時候,那個時候的數學是由幾何學、算數、天文學,以及音樂所組成的。的確,在羅馬帝國時期,音樂也是數學的一支;因為那個時候對數學的定義,主要是以「規律」為主,並且呈現的是思想的內容,而不是外在的事物。到了西元六世紀的中世紀哲學家,柏艾休斯(Boethius)認為數學展現的不是單一的量,而是各式各樣的量。並且用這種觀念來說明:數學是各式各樣科學的基礎。這個觀念言之成理,但後來遭到康德的批判。

康德在他的《純粹理性批判》之中,嚴格駁斥數學就是量的這種觀念,康德認為數學之所以成為一門獨特的科學的原因,並不是因為它所處理的對象,而是因為它的方法,尤其是研究、建構與圖表的方法。這個觀念主要是說,數學本身跟實際看到的事物沒有直接的關係,而只是說明事物本身抽象的結構。

康德的意思是說,我們人有多種想像能力,可以形成各式各樣的模組,進行推理。這能力與我們的思考空間的能力聯繫在一起,這似乎就是幾何出現的說法。如果我們接著想像有數個模組決定數字的組合,並且發展成為算術能力,也說明數學所展現處理時間的能力。我們可以說,即使我們不再用他的方式描述空間與時間,但康德注意到了這個事實,也就是數學可以經由人的抽象能力加以區分為幾何與算術,並論述他所謂的「先天綜合知識」(synthetic a priori knowledge)。這是很重要的發現,因為這等同於承認,數學的基礎,是先驗的,也就是存在於個別人心靈認知世界為何之前的知識內容。經驗主義者反對這種看法,認為所有的知識,都是後天的,沒有那種以神秘本質為訴求的先驗知識。

科學數學化的高潮,來自於19世紀的胡塞爾(E. Husserl)與夸黑(Alexandre Koyré),他們針對於十七世紀的科學革命,提供了一個「大論述」。根據這個大論述,整個科學革命發生的主要原因來自於幾位天才用數學征服了自然。這個大論述一開始,就是以展示量化的法則,被如伽利略與牛頓這些重要的科學家所發現。例如說「自由落體的法則」,依照這個法則而言,一個落體它所運行的空間即是它們所使用的時間的平方值。「重力法則」這個法則是說,兩個物體之間依照它們的質量比例而相互吸引,並且依照它們距離的平方值成反比。根據這個大論述,每一位在科學大革命時期的科學家都以數學化的方式,為自然提供了幾條法則。所以,整個科學革命的重點不在於發明創造了什麼東西,而是在於科學家成功的透過數學化的方式,發現了自然的機密。

這個認知導致了以下兩項結果:第一,數學化被視為一個對於亞里斯多德質化哲學,以及新的量化物理學的判準。第二,數學化的基礎來自於一個形上學的信念,也就是說世界是由幾何圖形、數字,以及測量標準所創造出來的。第二點本身又導致出兩個重要的結果:第一個結果是,所有的自然現象都可以用數學表達,第二個結果是,數學的語言直接呈現了自然的結構。在這樣數學化的過程,所謂的科學革命,也就等於透過數學的模型與規則,逐步發現自然的本質與結構。

科學革命的意義有很多層面的,但是在形上學部分的轉換,卻是最特殊的。從科學革命以後,科學因為發現定律而成為「有效的知識」,但是在成為「有效的」核心中,一直包含著「神秘的部份」。我們可以說,科學革命瓦解了人對於傳統宗教的膜拜,卻陷入對新宗教的迷思。

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