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2012.08.20 數學化科學與數學教育的文化反思（三）/台大哲學系主任苑舉正教授    
2012.08.19 數學化科學與數學教育的文化反思（二）/台大哲學系主任苑舉正教授    
2012.08.17 數學化科學與數學教育的文化反思（一）/台大哲學系主任苑舉正教授 

數學的迷思
這因為數學教育所引發的問題，讓我們不得不想如下的問題：數學究竟有什麼魔力，讓我們對於她的功能如此執著？我們不得不提醒自己，在這一個充滿科技的21世紀，處處以數學作為科學的基礎，但她本身的成因卻是一個「謎團」。我們甚至不知道數學有沒有一個固定的定義方式？這是一個大問題，因為即使我們不斷地而且有意義地談論數學，但「數學是什麼？」這個問題，依然尚未獲得滿意的答案。科學哲學家哈金(I. Hacking)就針對這個問題，採用歷史系譜學的方法，從數學發展的歷史中，找出一個令人驚訝的答案。
 
哈金對於哲學家對於數學的迷戀態度，感到大惑不解。這其中，最重要的哲學家就是羅素。羅素甚至極端到認為，所有的哲學家都應該延續康德的事業，回答「純粹數學如何可能？」這個困難的問題 。哈金坦言，羅素這樣說是誇大其詞，因為只有部分的哲學家對於數學展現了高度興趣。是什麼力量讓這麼多重量級的哲學家對於數學的本質與結構這麼有興趣？哈金認為，最重要的理由，就是數學證明。
 
證明的經驗以及證明的觀念，使得哲學家嚴肅地看待數學。對於沒有哲學經驗的人而，這似乎是一件再希鬆平常不過的事了。所有學過數學的人，都知道解證明題時重點，就是寫清楚證明步驟。這有什麼稀奇的呢？羅素說出了他的理由：「我們似乎能掌握毫無經驗的事物，這份能力令人感到驚訝。」我們稱這個令羅素感到驚訝的現象為「先天知識」(a priori knowledge)。這種知識的特性，就是「必然為真」。這不但是數學的屬性，更是我們在證明某個題目時的經驗。哲學家從證明的經驗，引伸出複雜的哲學概念。

哈金的想法，說明數學的本質，也指出哲學家的迷惘，當然也包含我們的迷惘。可是，哲學家一直不能理解，理性的起源，居然是神秘的，甚至是神聖的（奧古斯丁）。所以，哈金以追溯歷史的方式，在古希臘的源頭找到這個問題的起源。他找到的答案，就是柏拉圖。柏拉圖是我們現在深受「以證明為主的數學模式」所吸引的代理人。柏拉圖的理念，影響了後來的跟隨者，引導人們進一步創造一些迷人的數學概念，比方說，「展示」、「模型」、「證明」、「計算」、「形式主義」、「抽象化」。

為什麼這些概念會「迷人」呢？答案就在那些「必然如此」的感覺。這一問一答之間，我們可以看得出來，這件事情，幾乎可以用「美麗的錯誤」來形容。為什麼？因為眾所周知的是，在人際交往中，真正吸引人注意與尊重的，往往多為修辭的字句與動人的語言。在古希臘社會中，注重語言能力這件事，尤其重要，代表一個人能力的展現。事實上，希臘的數學成就對希臘人來說是無關緊要的。對於擁有高度文化素養的人來說，重要的是醫學、法律、修辭學、政治學、倫理學和歷史，而不是數學。因此，我們可以說，柏拉圖的哲學體系極有可能是當時的一個例外。但是，我們必須問，柏拉圖這麼做，又獲得了什麼？

柏拉圖痛恨雅典的民主，因為出身貴族的他，無法接受他所摯愛的老師，蘇格拉底在雅典的法院中，即使雄辯滔滔，卻依然被判死刑。這引發柏拉圖質疑，人有沒有透過語言辯論出真理的能力？各說各話的結果，只是人云亦云，完全無助於真理的探求。那麼，真理又如何可能呢？柏拉圖認為，追求真理的首要條件，在於找出真理的形式，就是那種獨一無二的感覺。這就是他所謂以「證明」為主的數學。對柏拉圖而言，數學有一個重點，就是那種「必然」(apodictic)的論述方式。不依賴華麗的辭澡或詭辯，哲學從數學那邊所獲取的，是透過正確的說服方式使哲學與其它學科有所分別。

柏拉圖並不是學術上的主流，這是可以理解的，因為誰捨得放棄我們對於日常生活的熟悉，然後追求一個「出世」的知識定義？可是，這個風氣，伴隨著現代科學的發展，出現新的觀念。在這種新觀念中，我們逐步認知，的確「人云亦云」實在無濟於事，我們要的是「發現自然結構」，那種獨一無二的結構。科學就是朝這個方向前進的學問，因為她與數學結合在一起。雖然我們並不知道數學的邏輯結構是否與自然的結構全然符合，但是經驗可以在數學模型中，將指涉的符號連結至日常生活中。我們可以在這個連結中，仰仗數學模型提供預測，然後在經由經驗檢驗，為我們提供答案。多次經過證實的理論模型，逐漸增強我們的信心，認為這個模型能夠準確預測經驗的原因，正是因為她與自然結構存在某種相關性。

我們說過，沒有人能夠證明這種「相關性」，因為這是累積出來的感覺。但是，我們必須再問一次，數學就是「證明」嗎？我們在日常生活中所應用的加加減減，不也是算術嗎？事實上，沒有人不知道，對於日常生活而言，算術中的加加減減比數學中的證明題重要多了。它們都是數學的一種，可是為什麼，「以證明為主」的數學，遠較其他型態的數學為真，獲得等同「真理」的地位？

這使得我們不得不承認，數學原先只是一個「混雜體」，包含各式各樣的計算、推理、設計與創造的概念。可以，在這個「混雜體」中，「必然證明」的現象，具有一個無從取代的特色。這種證明可以讓人馬上瞭解，全盤掌握，並且看做為一個整體。

笛卡兒就曾經認為，這種證明是最根本的，而且是唯一的「證明」。笛卡兒的觀念影響後來的哲學發展，讓某些哲學家認為，這種特殊的思考方式是人類心靈的榮耀，是人性的精髓。他們會這麼說的原因，就是因為表面上我們能夠透過思考解決問題。但是，對於認為我們僅憑思考就可以解決所有問題的看法，好像從來就不是正確的。

2012僅此一場索羅斯哲學演講，就在2012/09/01（六），敬邀您的參加！
 
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